微积分¶
➕ 求和与乘积 — \sum、\prod¶
\sum对应希腊大写字母 Σ（Sigma），在数学中代表**求和**（summation），下标为起始值，上标为终止值\prod对应希腊大写字母 Π（Pi），代表**连乘**（product），用法与\sum对称n!表示阶乘（factorial），即 \(1 \times 2 \times \cdots \times n\)
\[
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}
\]
\[
\prod_{i=1}^{n} i = n!
\]
🎯 极限 — \lim¶
\lim 是 limit（极限）的缩写：
\lim_{x \to a}表示当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限\to生成箭头 →，读作 "tends to" 或 "approaches"\infty生成无穷符号 ∞（infinity）
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
\]
∫ 积分 — \int¶
\int 来源于 integral（积分），符号形状源自拉长的字母 S，代表"summation"（求和）的连续形式：
\int_a^b— 定积分，_a为下限，^b为上限\int_{-\infty}^{+\infty}— 从负无穷到正无穷的广义积分\iint— 二重积分（double integral），\i= double\oint— 闭合曲线积分（contour integral），圆圈o表示路径是闭合的\,dx— 逗号\,产生一个细小的间距，将微分算子 \(dx\) 与被积函数隔开，提升可读性
\[
\int_a^b f(x)\,dx
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\]
\[
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy
\]
\[
\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}
\]
📈 导数 — f'、\frac{dy}{dx}¶
导数有多种表示法，各自有不同的历史渊源：
f'(x)— 拉格朗日记法（ Lagrange notation），用撇号'（prime）表示导数f''(x)— 二阶导数，两个撇号\frac{dy}{dx}— 莱布尼茨记法（Leibniz notation），用微分之比表示导数，直观体现"变化率"\frac{d^2y}{dx^2}— 二阶导数的莱布尼茨记法\partial— 偏导数（partial derivative），源自花体 d（∂），用于多变量函数中对单个变量求导
\[ f'(x) \]
\[ f''(x) \]
\[ \frac{dy}{dx} \]
\[ \frac{d^2y}{dx^2} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \]
📊 泰勒展开 — \sum + \frac{(-1)^k}{(2k)!}¶
泰勒展开将函数表示为无穷级数，\(\cos x\) 的展开中交替出现正负项（\((-1)^k\)），\((2k)!\) 确保展开的是偶数阶项：
\[
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]