矩阵与线性代数¶

🔢 矩阵 — matrix、bmatrix、pmatrix、vmatrix¶

LaTeX 通过不同的环境名称来控制矩阵的**定界符样式**，核心内容（& 分隔列、\\ 换行）完全相同：

不带括号 — \begin{matrix}¶

纯数字阵列，无定界符包裹：

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$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$

方括号矩阵 — \begin{bmatrix}¶

b 代表 brackets，是最常见的矩阵表示形式：

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$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$

圆括号矩阵 — \begin{pmatrix}¶

p 代表 parentheses，常用于表示向量或坐标：

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$$
B = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
$$

行列式 — \begin{vmatrix}¶

v 代表 vertical bars，用竖线表示行列式（determinant），行列式的值是一个标量而非矩阵：

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$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$

⚖️ 对齐环境 — \begin{align}¶

align 环境（对齐）用于多行公式推导，核心语法：

• & — 标记**对齐点**（通常是 = 号的位置），同一列的 & 会垂直对齐
• \\ — 换行符，每行公式末尾必须添加

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$$
\begin{align}
f(x) &= (x+1)^2 \\
     &= x^2 + 2x + 1
\end{align}
$$

📑 分段函数 — \begin{cases}¶

cases 环境（情况）用于定义**分段函数**，每个分支用 & 分隔条件和表达式：

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$$
f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \geq 0 \\
-x,  & x < 0
\end{cases}
$$

🔄 转置与逆 — A^T、A^{-1}¶

• A^T — 转置（Transpose），上标 T 取自 Transpose，将矩阵的行列互换
• A^{-1} — 逆矩阵（Inverse），上标 -1 表示矩阵的乘法逆元，满足 \(AA^{-1} = I\)
• (AB)^T = B^T A^T — 转置的反向律：乘积的转置等于转置的反向乘积

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$$ A^T $$

$$ A^{-1} $$

$$ (AB)^T = B^T A^T $$

✨ 特征值 — Av = \lambda v¶

特征值（eigenvalue）问题是线性代数的核心：寻找标量 \(\lambda\) 和非零向量 \(v\)，使得矩阵 \(A\) 作用于 \(v\) 后只产生缩放：

• 第一行是**定义**：\(Av = \lambda v\)
• 第二行是**特征方程**：\(\det(A - \lambda I) = 0\)，通过令特征多项式为零来求解 \(\lambda\)

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$$
\begin{align}
Av &= \lambda v \\
\det(A - \lambda I) &= 0
\end{align}
$$